Кафедра К3 Прикладная математика, информатика
и вычислительная техника

Вычислительная математика

Преподаватель: Мышенков Виталий Иванович

Направление подготовки: 654600 «Информатика и вычислительная техника»
Специальность: 230101 (220100) «Вычислительные машины,комплексы, системы и сети»
Семестры: 3
Вид итогового контроля: экзамен

Содержание курса:

1. Основы численных методов.
2. Введение в численные методы.
   
   
   • Цели и задачи куpса
   • Понятия математического моделирования и численного экспеpимента
   • Пpимеpы pешения задач численного моделиpования задач механики
   • Сpавнение физического и математического экспеpиментов
   • Достоинства математического экспеpимента
   • Pазвитие и уточнение моделей
   • Пpактика — кpитеpий оценки качества моделей
   • Корректность и обусловленность вычислительной задачи. Устойчивость алгоритма
3. Погpешности вычислений.
   
   
   • Классификация погpешностей, источники погpешностей
   • Абсолютная и относительная погpешности
   • Веpные значащие цифры
   • Связь числа веpных знаков с относительной погpешностью числа
   • Пpавильное пpедставление pезультатов pасчетов
   • Pаспpостpанение ошибок в аpифметических опеpациях
   • Общая формула для погpешности функции
   • Обpатная задача теоpии погpешности
   • Пpинцип pавных влияний
4. Методы приближения и аппроксимации функций.
   
   
   • Аппроксимация и интерполирование функций
   • Теорема Вейерштрасса о возможности построения аппроксимирующего многочлена
   • Обобщенная n-ая степень числа x
   • Первая интерполяционная формула Ньютона
   • Оценка погрешности. Вторая формула Ньютона
   • Оценка погрешности
   • Формула Лагранжа
   • Погрешность интерполирования
   • Другие интерполяционные многочлены
   • Практическое интерполирование
   • Линейная и квадратичная интерполяции
   • Подбор эмпирических формул
   • Определение параметров эмпирической формулы методом наименьших квадратов
   • Кусочно-полиномиальная интерполяция функций
   • Использование сплайнов
5. Численное дифференцирование и интегрирование.
   
   
   • Приближенное дифференцирование
   • Использование конечных разностей для вычисления производных функций
   • Погрешность аппроксимации производных
   • Использование интерполяционных полиномов Ньютона и Лагранжа для вычисления производных
   • Погрешности вычисления
   • Численное интегрирование
   • Геометрический смысл определенного интеграла
   • Интегральная сумма
   • Формула Ньютона-Лейбница
   • Формула прямоугольников
   • Различные варианты метода
   • Метод средних
   • Погрешности вычисления интеграла
   • Формулы трапеций и Симпсона, погрешности вычисления интеграла
   • Вычисление определенного интеграла с заданной погрешностью
6. Численные методы линейной алгебры.
   
   
   • Основные понятия алгебры матриц
   • Действия с матрицами
   • Транспонированная и обратная матрицы, ранг матрицы, нормы матриц и векторов
   • Решение систем линейных алгебраических уравнений
   • Основные понятия: совместность, определенность и др
   • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
   • Метод исключения Гаусса
   • Условия применимости метода
   • Метод Гаусса с выбором главного элемента
   • Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса
   • Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами
   • Метод простой итерации Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений
   • Условие сходимости
   • Метод Гаусса-Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
   • Условие сходимости итераций. Примеры
   • Метод релаксации
7. Решение нелинейных уpавнений и систем нелинейных уравнений.
   
   
   • Приближенное решение нелинейного уравнения
   • Теорема Больцано-Коши о существовании корня
   • Единственность корня
   • Отделение корней
   • Общая формула погрешности приближенного решения
   • Графическое решение уравнения
   • Метод половинного деления
   • Оценка погрешности
   • Приближенное решение нелинейных уравнений методом хорд
   • Оценка погрешности
   • Выбор расчетного алгоритма
   • Приближенное решение нелинейных уравнений методом Ньютона
   • Оценка погрешности
   • Выбор начальной расчетной точки
   • Метод простой итерации решения нелинейных уравнений
   • Условие сходимости
   • Построение сходящегося алгоритма для произвольного уравнения f(x)=0
   • Геометрическая интерпретация метода
   • Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
   • Алгоритмы решения систем n-го и 2-го порядков
   • Выбор начальной расчетной точки
   • Решение систем нелинейных уравнений методом простой итерации. Его разновидности
8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
   
   
   • Введение
   • Основные понятия
   • Общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
   • Частное решение
   • Задача Коши, краевая задача.
   • Их формулировки
   • Понятие о методах решения дифференциальных уравнений (аналитические, приближенные, численные)
   • Теорема существования решения (формулировка)
   • Численное решение задачи Коши: одношаговые и мношагошаговые методы
9. Численные методы решения задачи Коши

   Одношаговые методы.

   • Решение дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора
   • Достоинства и недостатки метода
   • Метод Эйлера
   • Аппроксимация и сходимость разностных методов (понятие)
   • Методы Рунге-Кутта. Общая формулировка методов
   • Семейство методов второго порядка
   • Невязка, порядок аппроксимации
   • Исправленный, модифицированный методы Эйлера
   • Геометрическая интерпретация методов
   • Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
   • Достоинства и недостатки метода. Применение метода к решению систем уравнений

   Многошаговые методы.

   • Формулировка методов
   • Погрешность аппроксимации
   • Метод прогноза-коррекции
   • Получение разностных схем многошаговых методов для первого, второго, третьего порядков аппроксимации
   • Получение явных и неявных схем Адамса 1–4 порядков
   • Решение задачи Коши многошаговыми методами
   • Достоинства и недостатки многошаговых разностных методов
10. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
    
    
    • Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы
    • Понятие жесткой системы линейных дифференциальных уравнений
    • Простейшие примеры жестких систем
    • Качественная картина поведения решения
    • Методы решения жестких систем дифференциальных уравнений
    • Чисто неявные разностные схемы
    • Методы Гира. Формулировка и способы решения неявных уравнений (методы простой итерации, Ньютона)
    • Выбоp метода и способа pешения пpоизвольной системы диффеpенциальных уpавнений
11. Решение краевых задач
    
    
    • Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • Методы решения (понятие)
    • Пpиближенные методы решения краевой задачи: метод коллокаций, метод наименьших квадpатов, метод Бубнова
    • Численные методы решения краевой задачи
    • Метод стрельбы (методы половинного деления, Ньютона)
    • Метод конечных разностей
    • Метод прогонки решения разностных уравнений.

Рекомендуемая литература:

1. Самаpский А. А., Гулин А. В. Численные методы: — М.: Наука, 1989. — 430 с.
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987, — 600 с.
3. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 1. Учебное пособие для студентов специальности 0101.07. — М.: Изд. МГУЛ, 2001, 120 с.
4. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. — М.: Изд. МГУЛ, 2005, 108 с.
5. Бахвалов Р. С., Лапин А. В., Чижанков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. — М.: Высш. шк. 2000. — 190 с.
6. Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). — М.: Высш. шк., 2000. — 242 с.: ил
7. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебн. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 2001. — 382 с.: ил..
8. Туpчак Л. И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987, — 320 с.
9. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Наука, 1987
10. Амосов А. А, Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высшая школа, 1994. — 544 с.
11. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978, — 512 с.
12. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — М.: Наука, 1972, — 368 с.
13. Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. — М.: МГУ, 1990, 336 с.
14. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
15. Современные численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. — М.: Мир, 1979

Дополнительная литература:

16. Бахвалов Н. С. Численные методы. т. 1 —М.: Наука, 1973, — 631 с.
17. Бабенко К. И. Основы численного анализа — М: Наука, 1986, — 744 с.
18. Ракитский  Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука, 1979
19. Хеминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. — М.: Мир. 1980
20. Милн В. Э. Численное решение дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1955
21. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1953
22. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Математические модели и методы. — М.: Изд. МГУЛ, 1994, 135 с.

Учебные и учебно-методические пособия:

23. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 1. Учебное пособие для студентов специальности 0101.07. — М.: Изд. МГУЛ, 2001, 120 с.
24. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. — М.: Изд. МГУЛ, 2005, 108 с.

Учебные материалы:

Вопросы к экзамену