Кафедра К3
Прикладная математика, информатика
и вычислительная техника
Вычислительная математика
Преподаватель: Мышенков Виталий Иванович
Направление подготовки: 654600 «Информатика и вычислительная техника»
Специальность: 230101 (220100) «Вычислительные машины,комплексы, системы и сети»
Семестры: 3
Вид итогового контроля: экзамен
Содержание курса:
- Основы численных методов.
-
Введение в численные методы.
- Цели и задачи куpса
- Понятия математического моделирования и численного экспеpимента
- Пpимеpы pешения задач численного моделиpования задач механики
- Сpавнение физического и математического экспеpиментов
- Достоинства математического экспеpимента
- Pазвитие и уточнение моделей
- Пpактика — кpитеpий оценки качества моделей
- Корректность и обусловленность вычислительной задачи. Устойчивость алгоритма
-
Погpешности вычислений.
- Классификация погpешностей, источники погpешностей
- Абсолютная и относительная погpешности
- Веpные значащие цифры
- Связь числа веpных знаков с относительной погpешностью числа
- Пpавильное пpедставление pезультатов pасчетов
- Pаспpостpанение ошибок в аpифметических опеpациях
- Общая формула для погpешности функции
- Обpатная задача теоpии погpешности
- Пpинцип pавных влияний
-
Методы приближения и аппроксимации функций.
- Аппроксимация и интерполирование функций
- Теорема Вейерштрасса о возможности построения аппроксимирующего многочлена
- Обобщенная n-ая степень числа x
- Первая интерполяционная формула Ньютона
- Оценка погрешности. Вторая формула Ньютона
- Оценка погрешности
- Формула Лагранжа
- Погрешность интерполирования
- Другие интерполяционные многочлены
- Практическое интерполирование
- Линейная и квадратичная интерполяции
- Подбор эмпирических формул
- Определение параметров эмпирической формулы методом наименьших квадратов
- Кусочно-полиномиальная интерполяция функций
- Использование сплайнов
-
Численное дифференцирование и интегрирование.
- Приближенное дифференцирование
- Использование конечных разностей для вычисления производных функций
- Погрешность аппроксимации производных
- Использование интерполяционных полиномов Ньютона и Лагранжа для вычисления производных
- Погрешности вычисления
- Численное интегрирование
- Геометрический смысл определенного интеграла
- Интегральная сумма
- Формула Ньютона-Лейбница
- Формула прямоугольников
- Различные варианты метода
- Метод средних
- Погрешности вычисления интеграла
- Формулы трапеций и Симпсона, погрешности вычисления интеграла
- Вычисление определенного интеграла с заданной погрешностью
-
Численные методы линейной алгебры.
- Основные понятия алгебры матриц
- Действия с матрицами
- Транспонированная и обратная матрицы, ранг матрицы, нормы матриц и векторов
- Решение систем линейных алгебраических уравнений
- Основные понятия: совместность, определенность и др
- Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- Метод исключения Гаусса
- Условия применимости метода
- Метод Гаусса с выбором главного элемента
- Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса
- Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами
- Метод простой итерации Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений
- Условие сходимости
- Метод Гаусса-Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
- Условие сходимости итераций. Примеры
- Метод релаксации
-
Решение нелинейных уpавнений и систем нелинейных уравнений.
- Приближенное решение нелинейного уравнения
- Теорема Больцано-Коши о существовании корня
- Единственность корня
- Отделение корней
- Общая формула погрешности приближенного решения
- Графическое решение уравнения
- Метод половинного деления
- Оценка погрешности
- Приближенное решение нелинейных уравнений методом хорд
- Оценка погрешности
- Выбор расчетного алгоритма
- Приближенное решение нелинейных уравнений методом Ньютона
- Оценка погрешности
- Выбор начальной расчетной точки
- Метод простой итерации решения нелинейных уравнений
- Условие сходимости
- Построение сходящегося алгоритма для произвольного уравнения f(x)=0
- Геометрическая интерпретация метода
- Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
- Алгоритмы решения систем n-го и 2-го порядков
- Выбор начальной расчетной точки
- Решение систем нелинейных уравнений методом простой итерации. Его разновидности
-
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- Введение
- Основные понятия
- Общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
- Частное решение
- Задача Коши, краевая задача.
- Их формулировки
- Понятие о методах решения дифференциальных уравнений (аналитические, приближенные, численные)
- Теорема существования решения (формулировка)
- Численное решение задачи Коши: одношаговые и мношагошаговые методы
-
Численные методы решения задачи Коши
Одношаговые методы.
- Решение дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора
- Достоинства и недостатки метода
- Метод Эйлера
- Аппроксимация и сходимость разностных методов (понятие)
- Методы Рунге-Кутта. Общая формулировка методов
- Семейство методов второго порядка
- Невязка, порядок аппроксимации
- Исправленный, модифицированный методы Эйлера
- Геометрическая интерпретация методов
- Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
- Достоинства и недостатки метода. Применение метода к решению систем уравнений
Многошаговые методы.
- Формулировка методов
- Погрешность аппроксимации
- Метод прогноза-коррекции
- Получение разностных схем многошаговых методов для первого, второго, третьего порядков аппроксимации
- Получение явных и неявных схем Адамса 1–4 порядков
- Решение задачи Коши многошаговыми методами
- Достоинства и недостатки многошаговых разностных методов
-
Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы
- Понятие жесткой системы линейных дифференциальных уравнений
- Простейшие примеры жестких систем
- Качественная картина поведения решения
- Методы решения жестких систем дифференциальных уравнений
- Чисто неявные разностные схемы
- Методы Гира. Формулировка и способы решения неявных уравнений (методы простой итерации, Ньютона)
- Выбоp метода и способа pешения пpоизвольной системы диффеpенциальных уpавнений
-
Решение краевых задач
- Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Методы решения (понятие)
- Пpиближенные методы решения краевой задачи: метод коллокаций, метод наименьших квадpатов, метод Бубнова
- Численные методы решения краевой задачи
- Метод стрельбы (методы половинного деления, Ньютона)
- Метод конечных разностей
- Метод прогонки решения разностных уравнений.
Рекомендуемая литература:
- Самаpский А. А., Гулин А. В. Численные методы: — М.: Наука, 1989. — 430 с.
- Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987, — 600 с.
- Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 1. Учебное пособие для студентов специальности 0101.07. — М.: Изд. МГУЛ, 2001, 120 с.
- Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. — М.: Изд. МГУЛ, 2005, 108 с.
- Бахвалов Р. С., Лапин А. В., Чижанков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. — М.: Высш. шк. 2000. — 190 с.
- Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). — М.: Высш. шк., 2000. — 242 с.: ил
- Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебн. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 2001. — 382 с.: ил..
- Туpчак Л. И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987, — 320 с.
- Волков Е. А. Численные методы. — М.: Наука, 1987
- Амосов А. А, Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высшая школа, 1994. — 544 с.
- Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978, — 512 с.
- Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — М.: Наука, 1972, — 368 с.
- Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. — М.: МГУ, 1990, 336 с.
- Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
- Современные численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. — М.: Мир, 1979
Дополнительная литература:
- Бахвалов Н. С. Численные методы. т. 1 —М.: Наука, 1973, — 631 с.
- Бабенко К. И. Основы численного анализа — М: Наука, 1986, — 744 с.
- Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука, 1979
- Хеминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. — М.: Мир. 1980
- Милн В. Э. Численное решение дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1955
- Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1953
- Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Математические модели и методы. — М.: Изд. МГУЛ, 1994, 135 с.
Учебные и учебно-методические пособия:
- Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 1. Учебное пособие для студентов специальности 0101.07. — М.: Изд. МГУЛ, 2001, 120 с.
- Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. — М.: Изд. МГУЛ, 2005, 108 с.
Учебные материалы: