Космический факультет

Кафедра К3
«Прикладная математика, информатика и вычислительная техника»

Телефон: 8 (498) 687-43-52
ГУК, ауд. 447
E-Mail: caf-pm@mgul.ac.ru, caf-vt@mgul.ac.ru


Вычислительная математика

Преподаватель: Мышенков Виталий Иванович

Направление подготовки: 654600 «Информатика и вычислительная техника»
Специальность: 230101 (220100) «Вычислительные машины,комплексы, системы и сети»
Семестры: 3
Вид итогового контроля: экзамен

Содержание курса:

  1. Основы численных методов.
  2. Введение в численные методы.

    • Цели и задачи куpса
    • Понятия математического моделирования и численного экспеpимента
    • Пpимеpы pешения задач численного моделиpования задач механики
    • Сpавнение физического и математического экспеpиментов
    • Достоинства математического экспеpимента
    • Pазвитие и уточнение моделей
    • Пpактика — кpитеpий оценки качества моделей
    • Корректность и обусловленность вычислительной задачи. Устойчивость алгоритма
  3. Погpешности вычислений.

    • Классификация погpешностей, источники погpешностей
    • Абсолютная и относительная погpешности
    • Веpные значащие цифры
    • Связь числа веpных знаков с относительной погpешностью числа
    • Пpавильное пpедставление pезультатов pасчетов
    • Pаспpостpанение ошибок в аpифметических опеpациях
    • Общая формула для погpешности функции
    • Обpатная задача теоpии погpешности
    • Пpинцип pавных влияний
  4. Методы приближения и аппроксимации функций.

    • Аппроксимация и интерполирование функций
    • Теорема Вейерштрасса о возможности построения аппроксимирующего многочлена
    • Обобщенная n-ая степень числа x
    • Первая интерполяционная формула Ньютона
    • Оценка погрешности. Вторая формула Ньютона
    • Оценка погрешности
    • Формула Лагранжа
    • Погрешность интерполирования
    • Другие интерполяционные многочлены
    • Практическое интерполирование
    • Линейная и квадратичная интерполяции
    • Подбор эмпирических формул
    • Определение параметров эмпирической формулы методом наименьших квадратов
    • Кусочно-полиномиальная интерполяция функций
    • Использование сплайнов
  5. Численное дифференцирование и интегрирование.

    • Приближенное дифференцирование
    • Использование конечных разностей для вычисления производных функций
    • Погрешность аппроксимации производных
    • Использование интерполяционных полиномов Ньютона и Лагранжа для вычисления производных
    • Погрешности вычисления
    • Численное интегрирование
    • Геометрический смысл определенного интеграла
    • Интегральная сумма
    • Формула Ньютона-Лейбница
    • Формула прямоугольников
    • Различные варианты метода
    • Метод средних
    • Погрешности вычисления интеграла
    • Формулы трапеций и Симпсона, погрешности вычисления интеграла
    • Вычисление определенного интеграла с заданной погрешностью
  6. Численные методы линейной алгебры.

    • Основные понятия алгебры матриц
    • Действия с матрицами
    • Транспонированная и обратная матрицы, ранг матрицы, нормы матриц и векторов
    • Решение систем линейных алгебраических уравнений
    • Основные понятия: совместность, определенность и др
    • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
    • Метод исключения Гаусса
    • Условия применимости метода
    • Метод Гаусса с выбором главного элемента
    • Вычисление определителя и обратной матрицы методом Гаусса
    • Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами
    • Метод простой итерации Якоби решения систем линейных алгебраических уравнений
    • Условие сходимости
    • Метод Гаусса-Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений
    • Условие сходимости итераций. Примеры
    • Метод релаксации
  7. Решение нелинейных уpавнений и систем нелинейных уравнений.

    • Приближенное решение нелинейного уравнения
    • Теорема Больцано-Коши о существовании корня
    • Единственность корня
    • Отделение корней
    • Общая формула погрешности приближенного решения
    • Графическое решение уравнения
    • Метод половинного деления
    • Оценка погрешности
    • Приближенное решение нелинейных уравнений методом хорд
    • Оценка погрешности
    • Выбор расчетного алгоритма
    • Приближенное решение нелинейных уравнений методом Ньютона
    • Оценка погрешности
    • Выбор начальной расчетной точки
    • Метод простой итерации решения нелинейных уравнений
    • Условие сходимости
    • Построение сходящегося алгоритма для произвольного уравнения f(x)=0
    • Геометрическая интерпретация метода
    • Приближенное решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона
    • Алгоритмы решения систем n-го и 2-го порядков
    • Выбор начальной расчетной точки
    • Решение систем нелинейных уравнений методом простой итерации. Его разновидности
  8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

    • Введение
    • Основные понятия
    • Общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка
    • Частное решение
    • Задача Коши, краевая задача.
    • Их формулировки
    • Понятие о методах решения дифференциальных уравнений (аналитические, приближенные, численные)
    • Теорема существования решения (формулировка)
    • Численное решение задачи Коши: одношаговые и мношагошаговые методы
  9. Численные методы решения задачи Коши

    Одношаговые методы.

    • Решение дифференциальных уравнений с помощью ряда Тейлора
    • Достоинства и недостатки метода
    • Метод Эйлера
    • Аппроксимация и сходимость разностных методов (понятие)
    • Методы Рунге-Кутта. Общая формулировка методов
    • Семейство методов второго порядка
    • Невязка, порядок аппроксимации
    • Исправленный, модифицированный методы Эйлера
    • Геометрическая интерпретация методов
    • Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
    • Достоинства и недостатки метода. Применение метода к решению систем уравнений

    Многошаговые методы.

    • Формулировка методов
    • Погрешность аппроксимации
    • Метод прогноза-коррекции
    • Получение разностных схем многошаговых методов для первого, второго, третьего порядков аппроксимации
    • Получение явных и неявных схем Адамса 1–4 порядков
    • Решение задачи Коши многошаговыми методами
    • Достоинства и недостатки многошаговых разностных методов
  10. Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

    • Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные методы
    • Понятие жесткой системы линейных дифференциальных уравнений
    • Простейшие примеры жестких систем
    • Качественная картина поведения решения
    • Методы решения жестких систем дифференциальных уравнений
    • Чисто неявные разностные схемы
    • Методы Гира. Формулировка и способы решения неявных уравнений (методы простой итерации, Ньютона)
    • Выбоp метода и способа pешения пpоизвольной системы диффеpенциальных уpавнений
  11. Решение краевых задач

    • Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений.
    • Методы решения (понятие)
    • Пpиближенные методы решения краевой задачи: метод коллокаций, метод наименьших квадpатов, метод Бубнова
    • Численные методы решения краевой задачи
    • Метод стрельбы (методы половинного деления, Ньютона)
    • Метод конечных разностей
    • Метод прогонки решения разностных уравнений.

Рекомендуемая литература:

  1. Самаpский А. А., Гулин А. В. Численные методы: — М.: Наука, 1989. — 430 с.
  2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — М.: Наука, 1987, — 600 с.
  3. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 1. Учебное пособие для студентов специальности 0101.07. — М.: Изд. МГУЛ, 2001, 120 с.
  4. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. — М.: Изд. МГУЛ, 2005, 108 с.
  5. Бахвалов Р. С., Лапин А. В., Чижанков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. — М.: Высш. шк. 2000. — 190 с.
  6. Вержбицкий В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). — М.: Высш. шк., 2000. — 242 с.: ил
  7. Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебн. пособие для вузов. — М.: Высш. шк., 2001. — 382 с.: ил..
  8. Туpчак Л. И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987, — 320 с.
  9. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Наука, 1987
  10. Амосов А. А, Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высшая школа, 1994. — 544 с.
  11. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978, — 512 с.
  12. Копченова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. — М.: Наука, 1972, — 368 с.
  13. Арушанян О. Б., Залеткин С. Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. — М.: МГУ, 1990, 336 с.
  14. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1986.
  15. Современные численные решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. — М.: Мир, 1979

Дополнительная литература:

  1. Бахвалов Н. С. Численные методы. т. 1 —М.: Наука, 1973, — 631 с.
  2. Бабенко К. И. Основы численного анализа — М: Наука, 1986, — 744 с.
  3. Ракитский  Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука, 1979
  4. Хеминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. — М.: Мир. 1980
  5. Милн В. Э. Численное решение дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1955
  6. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1953
  7. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Математические модели и методы. — М.: Изд. МГУЛ, 1994, 135 с.

Учебные и учебно-методические пособия:

  1. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 1. Учебное пособие для студентов специальности 0101.07. — М.: Изд. МГУЛ, 2001, 120 с.
  2. Мышенков В. И., Мышенков Е. В. Численные методы. Часть 2. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие для студентов специальности 073000. — М.: Изд. МГУЛ, 2005, 108 с.

Учебные материалы:

Вопросы к экзамену

Административный раздел