Кафедра К3 Прикладная математика, информатика
и вычислительная техника

Вычислительная математика

Вопросы к экзамену

1. Математическое моделирование. Понятие, примеры. Развитие и уточнение моделей. Достоинства математического эксперимента. Критерий оценки моделей.
2. Погрешности вычислений. Абсолютная и относительная погрешности. Распространение ошибок в вычислениях.
3. Общая формула погрешности функции. Определение погрешности функции по погрешностям аргументов.
4. Обратная задача теории погрешностей. Вычисление абсолютных и относительных погрешностей аргументов по погрешности функции.
5. Приближенное решение нелинейного уравнения. Отделение корней.
6. Метод половинного деления. Погрешность решения.
7. Метод хорд. Погрешность решения.
8. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения. Выбор начальной расчетной точки. Погрешность решения.
9. Метод простой итерации решения нелинейных уравнений. Условие сходимости. Построение сходящегося алгоритма для произвольного уравнения f(x)=0.
10. Решение систем нелинейных уравнений методом простой итерации.
11. Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.
12. Приближенное дифференцирование. Использование интерполяционных полиномов и конечных разностей. Погрешность.
13. Численное интегрирование. Формулы прямоугольников. Погрешности вычислений.
14. Численное интегрирование. Формула трапеций. Погрешности вычислений.
15. Формула Симпсона. Погрешность вычисления интеграла.
16. Аппроксимация и интерполирование функций. Приближение функций при помощи степенных рядов.
17. Обобщенная n-я степень числа х. Первая интерполяционная формула Ньютона. Оценка погрешности.
18. Вторая формула Ньютона. Оценка погрешности.
19. Формула Лагранжа. Погрешность интерполирования.
20. Метод наименьших квадратов.
21. Основные понятия алгебры матриц. Действия с матрицами. Норма матрицы. Транспонированная и обратная матрицы.
22. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод исключения Гаусса.
23. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
24. Вычисление определителя методом Гаусса.
25. Метод прогонки решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами.
26. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Якоби. Условие сходимости итераций.
27. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса-Зейделя. Условие сходимости итераций.
28. Метод релаксации решения системы линейных алгебраических уравнений. Примеры.
29. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши. Метод Эйлера. Геометрическая интерпретация метода. Погрешность аппроксимации.
30. Исправленный метод Эйлера. Погрешность аппроксимации. Геометрическая интерпретация метода.
31. Модифицированный метод Эйлера. Геометрическая интерпретация метода.
32. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение системы двух уравнений.
33. Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод предиктор-корректор решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Условие сходимости итераций.
34. Методы Адамса. Получение схем разного порядка методом неопределенных коэффициентов и при помощи интерполяционных многочленов. Способы получения дополнительных начальных данных.
35. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений. Примеры жестких систем. Поведение решений жестких систем.
36. Методы решения жестких систем дифференциальных уравнений. Чисто неявные разностные схемы Гира. Способы решения неявных уравнений (простая итерация, метод Ньютона).
37. Методы решения жестких систем дифференциальных уравнений. Решение системы двух уравнений методом Гира.
38. Приближенные методы решения краевой задачи: метод коллокаций, метод наименьших квадратов, метод Бубнова.
39. Численные методы решения краевой задачи методом стрельбы (методом половинного деления).
40. Решение краевой задачи методом конечных разностей. Метод прогонки решения разностных уравнений.